微分方程式Ⅰ

科目名: 微分方程式I
担当者: 谷口健二　坪井俊
標準履修時期: 二年次前期

【授業の概要】多くの自然現象や法則は，微分方程式を用いて記述される．そのため自然科学を学ぶ上で，微分方程式に関する基礎知識は不可欠なものである．この講義では微分方程式論の入門として，独立変数が一つである常微分方程式を扱う．常微分方程式の定式から始め，初等解法，解の存在，定数係数線形方程式，変数係数線形方程式などを，具体的な解法を中心として講義する．なお可能ならば、並行して「微分方程式 I 演習」を履修するのが望ましい。
【授業要旨】題目内容・キーワード

初等解法	変数分離型．１階線形方程式．全微分型．
基礎定理	初期値問題．解の存在と一意性．
定数係数線形方程式	斉次方程式と非斉次方程式．重ね合わせの原理．基本解．演算子による解法．
変数係数線形方程式	ロンスキー行列式．定数変化法．

※　担当者によっては，これ以外のトピックスを扱うこともある．
【評価方法】定期試験の他，出席・レポート・小テストなどで評価する．その比重については担当者によって異なるので，講義初回に説明する．
【教科書】使用しない.
【参考書】例えば以下のような参考書がある。

柳田英二 , 栄伸一郎　著	「常微分方程式論」	朝倉書店　講座　数学の考え方　７	ISBN: 4254115873	(2002年)
矢嶋信男　著	「常微分方程式」	岩波書店　理工系の数学入門コース	ISBN: 4000077740	(1989年)
佐野　理　著	「キーポイント微分方程式」	岩波書店　理工系数学のキーポイント	ISBN: 4000078658	(1993年)
笠原晧司　著	「新微分方程式対話　新版」	日本評論社　日評数学選書	ISBN: 4535601194	(1995年)

【履修前の準備】解析IA，解析IB の他に，線形代数IA，線形代数IB の内容を仮定する．特に１変数関数の微分積分は自由に出来ることを前提とする．

		講義内容	講義ノート
１	４月１２日	関数の微分とグラフの傾き。積分法。常微分方程式の例。「ｘ’＝ｘ」の解き方いろいろ。	DVI, PDF
２	４月１９日	不定積分して解ける常微分方程式（変数分離形、同次形）。１階線形常微分方程式。定数変化法。（＊ベルヌーイの方程式、リッカチ型方程式＊）	DVI, PDF
３	４月２６日	不変な多変数関数が見つかる場合（完全微分方程式）。（＊積分因子＊）常微分方程式とその解。曲線族と微分方程式。連立常微分方程式。ベクトル場と解曲線。	DVI, PDF
４	５月１０日	（＊コンピュータによる経験的数値解法。＊）高階常微分方程式の１階化。相空間。正規形１階常微分方程式の初期値問題。	PDF
５	５月１７日	正規形１階常微分方程式の解の存在と一意性の定理。（＊常微分方程式の解のパラメータについての連続性。＊）	DVI, PDF
６	５月２４日	２変数１階線形常微分方程式。２行２列の行列の標準形。	DVI, PDF
７	５月３１日	ｎ次行列の指数関数と１階線形常微分方程式。（＊行列のジョルダン標準形、行列の固有多項式、射影行列の方法＊）。定数変化法。	DVI, PDF
８	６月７日	定数係数高階線形常微分方程式。斉次方程式と非斉次方程式。解空間の性質。重ね合わせの原理。斉次方程式の基本解。（＊ベクトル空間、ベクトル空間の基底＊）。	DVI, PDF
９	６月１４日	休講　（小テスト）	DVI, PDF
		小テストの解答例	DVI, PDF
１０	６月２１日	高階線形常微分方程式。演算子法または記号法。	DVI, PDF
１１	６月２８日	変数係数線形常微分方程式。１階線形の場合。基本解。行列式とトレース。	DVI, PDF
１２	７月５日	ロンスキー行列。（＊グリーンの公式。＊）	DVI, PDF
試験	７月１９日？	試験範囲　講義で述べた上記の事項。（＊　　＊）の部分は試験範囲としない。参考書、ノート等の持ち込みは認めない。