cos x cos y のグラフ

一般に、等高線と最大傾斜線は直交している。

この最大傾斜線で、
曲線が１点に集まるところと
双曲線のようになるところに
注目する。
 
 

等高線では、それぞれ

それぞれ、極大点、極小点
鞍点（峠点）に対応する。

各３角形の上に
次の模様（フローライン）を考える。
 
 
 
 

四面体に模様をつけると

頂点の数　―　辺の数　＋　面の数　＝　２　―　２ｇ

極大極小点の数　ー　鞍点の数　＝　２　―　２g

実際の最大傾斜線には
流れ落ちる方向が定まっている。

同じに対しても、
極大に対応するものと、
極小に対応するものがある。

このような最大傾斜線に
対応する模様を考えると、
最大値、最小値は存在するから、

の個数　≧　２
 

　サドルに対しては、
その上下に出る枝、
左右に出る枝は
一方の組が増加、
一方の組が減少している。
 

この枝の一本によって、
サドルが極大点、極小点に
つながっているときに、
コブの解消（対消滅）が可能である。
 
 

最も簡単な曲面では
最大値最小値が１つずつある。

これは球面と同相になる。
同相となるとは、同じ「座標」を
とることができることである。
 

一般には、極大点が複数、
あるいは極小点が複数あれば、
その間にサドルがあり、
対消滅させることができる。
 
 
 

その結果、極大点極小点が
１つずつで
最大点最小点となっている
ようにできる。

オイラー数　　　　　　　　　　
＝　の個数　‐　の個数　
≦　２　　　　　      　　　　　　である。

\

サドルがあるときに
最小点、最大点、サドルを結ぶ
曲がった３角形

はサドルの数を k
とすると 4k 個ある。
(k ＝２-オイラー数)

これらは、最小点、あるいは最大点の
まわりでは
2 k 角形をなす。

この 2 k 角形の辺を元のように
縫いあわせると曲面が復元される。

その様子は、辺を縫い合わせたときに
頂点がひとつの点になる
というものである。

こうして、曲面の同相による分類が得られる。

オイラー数が 1 の時には、
向き付けを持たない曲面
「射影平面」が得られる。

    ３次元の空間にある図形の表面としての
曲面には裏表があるから、
向き付けを持つ曲面である。
 

オイラー数が０の時は、
向き付けを持つ「トーラス」
または、向き付けを持たない「クラインの壷」
となる。
 

演習問題：オイラー数が０の時、
向き付けをもてば、
「トーラス」と同相になることを確かめよ。

必ずしも極大点極小点が1個ずつとは限らない場合に話を戻す．

極小点から出る最大傾斜線たちは多角形になることを見た．

これらの多角形が、稜線にあたる鞍点と極大点を結ぶ軌道
に沿って貼り合わさって曲面が得られている．
この貼り合わせの様子を記述する。

そのために、多角形の集合、稜線の集合、頂点（極大点）の集合
を考える．

稜線には、（便宜上）向きをつけておく。

1つの稜線 e_1 は、頂点 v_1 頂点v_0へ向かうというように記述される．

多角形の辺は、多角形に向きをつけておくと、
稜線　e_1 稜線 e_2 … 稜線 e_k
に囲まれていると記述される．

ただし、稜線に向きを決めているから、
同じ向き、反対向きの記述もすべきである．

これらの情報を集めておけば、その情報から曲面が復元される．

頂点の数をL, 辺の数をM, 多角形の数をNとする。
A          B
R^L ←　R^M ←　R^N

行列は、列ベクトルに作用していると考える.
ここで合成した行列 AB は、零行列となる。

ホモロジー群が定義される.

しかし、行列は転置行列として、行ベクトルにも作用できる.

合成した行列は、零行列となる。

コホモロジー群が定義される.

A          B
R^L →　R^M →　R^N

さて、天地がひっくり返る大事件が起きたとする.

極大は極小に、極小は極大にかわる。

多角形のとり方はかわる。
「稜線」は直交方向に変化する.

頂点の数はN, 辺の数はM, 多角形の数はLとする。

R^N ←　R^M ←　R^L

ここでホモロジー群を考える。

曲面が向きづけ可能のとき、
このホモロジーの計算の行列は、
上に現れたコホモロジーの計算の行列と一致することがわかる。　
 

A          B
R^L →　R^M →　R^N

このことから、H_0(R^N ←　R^M ←　R^L) と H^2(R^L →　R^M →　R^N),
H_1(R^N ←　R^M ←　R^L) と H^1(R^L →　R^M →　R^N),
H_2(R^N ←　R^M ←　R^L) と H^0(R^L →　R^M →　R^N),
は同型となる．
これをポアンカレ双対性定理という。

さて、準同型定理から
オイラー数 = L - M + N =dim H_0 - dim H_1 + dim H_2
がわかる。
ホモロジー群とコホモロジー群の元の間には、
非退化な積があり、
H_0 と H^0 、　H_1 と H^1 、H_2 と H^2
は同形である。
これは普遍係数定理と呼ばれる．

そこで、ポアンカレ双対性を用いて、
H_1 ×　H_1 →　R
交叉形式が定義される．
この交叉形式は、反対称、非退化である．
このような反対称非退化な双１次形式が存在するのは
偶数次元のベクトル空間である。
従って、dim H_1は偶数となる．

このことを示すためには、
カスプを通過したときの多角形の変化、
鞍点を結ぶ軌道があるモース関数を通過したときの多角形の変化
を追跡すればよい．

従って、向きづけ可能なとき　dim H_1が偶数であることから、
オイラー数が偶数となる。

さて、オイラー数が０のとき、
模様だけをながめて、
これが最大傾斜線であることを
忘れると、
最大点、最小点だったものと
サドルを消滅させることが
できる。
その結果、曲面の上の停留しない
流れが定義される。
 

これとは違う流れ

結論

曲面のオイラー数は、
曲面の上の関数の様子にも
大きな影響を与えている。
とくに、極大点、極小点、サドルだけを
もつ関数に対しては
少なくとも、（２ - オイラー数）の
サドルがある。

また、オイラー数は、曲面の上の流れ
（常微分方程式の解）の挙動に
大きな影響を与えている。
とくに、オイラー数が０でないときには
必ず停留点がある。

このオイラー数は、
次元の高い空間にも定義される。
オイラー数は考えている空間の
大域的な性質を表現し、
その上の関数、流れ等に大きな影響を
与えている。